History

개요

이 글은 MIT 18.06 Linear Algebra 2011 Fall을 랩메이트들과 들으며 꼭 기억하고 싶은 내용을 적는 글이다.

많은 사람들의 선형대수 스승일 Gilbert Strang은 학부 시절 계산만 해서 몰랐던 혹은 까먹었을 선형대수의 많은 부분들을 알려주고 계시다. 이 글에서 다뤄보고 싶은 내용은 Strang이 Unit 1: AX=B AND The Four Subspces에서 특히 강조하는 Column Space Picture에 대한 것이다.

선형대수 시리즈로 적어보면 좋겠는데 과연... 내가 그렇게 부지런할지는...

허수(Imaginary Value)란 무엇인가?

선형대수에서 뜬금없이 허수를 언급해서 이상하다고 생각할 사람이 많을 것 같다. 하지만 내가 수업을 들으며 Column Space Picture를 이해한 바가 허수의 의미에 대해 예전에 읽었던 내용과 관련이 있다. 그래서 우선 허수가 무엇이고 왜 필요한지에 대해서 이야기 해보고자 한다.

이 내용은 What relevance do imaginary numbers have to the real world? - University of Toronto Mathematics Network Answers and Explanations에 많은 영향을 받았다.

근의 공식

우리가 중등수학에서 처음으로 허수와 가까워질 때는 이차방정식의 일반해를 위해 근의 공식을 배울 때이다.

요즘 교육과정이 어떤지는 모르겠지만 나는 중등수학에서는 판별식 b^2 - 4ac가 양수이면 두 개의 근, 0이면 1개의 중근, 음수이면 해가 존재하지 않는다고 배웠다.

그리고 고등수학에 와서야 허수를 배우며 '사실 이차방정식에는 항상 2개의 해가 존재합니다 짜잔!'이라고 배웠던 기억이 난다.

그리고 이는 고차방정식으로 확장되어 n차 방정식(n-th order equation)은 n개의 해를 가진다는 결론에 다다를 수 있게된다. 즉, 우리는 허수의 존재를 통해 좀더 완전한 결론에 다가갈 수 있게 된 것이다.

분수와 소수(Decimal)는 실재하는가?

근의 공식은 내가 이해하고 있는 바를 완전히 설명하는 예시는 아니어서 결국 위의 글에서 이야기하는 또 다른 예시를 가져와서 설명해보고자 한다.

분수(fraction)혹은 소수(Decimal) 대해서 생각해본다면 이건 실재하는 수라고 할 수 있을까? 사과 3/5개, 여자친구 1.2명, 이런 것들은 존재할 수 없다.